On envoie à la validation ?
C'est un sommet qui restait jusqu'à présent vierge des traces de l'homme : la transposition de la célèbre
fractale de
Mandelbrot en trois dimensions. Mais en décembre dernier, l'anglais Daniel White a réussi l'exploit en créant le
Mandelbulb, une fractale tridimensionnelle basée sur le même principe que celle de Mandelbrot.
Une fractale ?
Les fractales sont des objets que l'on peut représenter géométriquement. Elles ont la particularité de présenter la même quantité de détails, quelque soit l'échelle à laquelle on les observe. On peut donc agrandir à l'infini, on retrouvera toujours un même motif à diverses échelles.
Le tapis de Sierpiński, une fractale simple dans le plan.
La plupart des fractales sont définies à l'aide de relations mathématiques. La fractale de Mandelbrot est représentative de l'
ensemble de Mandelbrot, un ensemble de nombres défini par une relation mathématique.
L'ensemble de Mandelbrot est inclus dans l'ensemble des
nombres complexes. Ces nombres un peu spéciaux sont composés d'une
partie réelle et d'une
partie imaginaire. On peut associer à un nombre complexe un point du plan, avec comme abscisse sa partie réelle, et comme ordonnée sa partie imaginaire. La particularité des complexes est que l'on peut obtenir des transformations comme la
rotation ou l'
homothétie simplement en multipliant deux complexes entre eux, et la
translation en additionnant deux complexes.
Ça tombe bien, car l'ensemble de Mandelbrot est définit par une
suite mathématique, qui à chaque complexe associe son carré (une multiplication après tout), selon une relation de récurrence. Un nombre complexe se trouve dans l'ensemble de Mandelbrot si cette suite converge. On peut alors le dessiner en noir sur la fractale. Si la suite diverge, le nombre complexe ne fait pas partie de l'ensemble.
Pour bien comprendre, il faut s'imaginer un point du plan. On lui associe son « carré » (en faisant le carré du complexe qui représente le point), on obtient un nouveau point, et on recommence à l'infini avec les points que l'on obtient. On peut alors avoir deux cas de figure : soit les points sont de plus en plus éloignés, dans ce cas la suite diverge, et tous les points de la suite ne font pas partie de l'ensemble, soit les points se rapprochent indéfiniment, et ils font partie de l'ensemble, donc sont dessinés. Voici donc un aperçu de l'ensemble des points (tous coloriés en noir) :
La troisième dimension, un vrai casse-tête
Les premières fractales de Mandelbrot en trois dimensions ont été pour la plupart des rotations de la fractale ci-dessus autour d'un axe, ou une extrusion, c'est-à-dire une élévation, de la figure. Ce fractales en trois dimensions n'avaient alors pas plus de détails que la version du plan. Les informaticiens et les mathématiciens voulaient une fractale tridimensionnelle aussi riche en détails que son homologue bidimensionnelle.
Première tentative en 3D
Si la rotation et la translation dans le plan se font par simples multiplications et additions de deux complexes, ce système est difficilement applicable à la troisième dimension. Les premières tentatives sont venues des travaux de Rudy Rucker dans les années 80. Il proposait d'appliquer des
coordonnées polaires à un point de l'espace en utilisant une sphère (donc un objet en trois dimensions), et des cercles de cette sphère, un peu comme la longitude et la latitude terrestre. En déplaçant le point sur ces cercles, on pouvait reproduire la rotation et la translation dans l'espace.
Ce fut Daniel White qui experimenta en premier cette technique, mais le résultat ne fut pas à la hauteur de ses attentes (voir image ci-contre). Même si le rendu était intéressant, il ne possédait pas autant de détails que la fractale de Mandelbrot, et ce à toutes les échelles.
D'autres tentatives ont été menées. Il n'existe pas d'équivalent aux nombres complexes dans l'espace, mais il en existe en quatre dimensions, appelés quaternions. On pouvait donc reproduire la fractale de Mandelbrot en 4D, puis supprimer une dimension afin d'obtenir une version en 3D. Les résultats furent également décevants par rapport à l'original bidimensionnel.
La solution dans l'exposant
C'est alors que Paul Nylander eu l'idée de changer l'exposant de la suite qui défini l'ensemble de Mandelbrot. Au lieu d'élever un nombre au carré (ou faire une opération similaire dans l'espace avec des rotations), on peut élever un nombre à une puissance supérieure. Voici donc le rendu qu'il fit avec un exposant huit :
Aux yeux de Daniel White, cette fractale pouvait bel et bien être aussi riche que sont homologue 2D. Il implémenta alors le nouveaux système avec un logiciel de sa conception, prenant en charge la génération de la fractale, mais aussi l'éclairage de toute la structure.
Voici un de ses rendus les plus spectaculaires :
Cliquez pour agrandir.
Daniel White prépara donc une
galerie de rendus, tous plus impressionnants les uns que les autres. Une vision globale de ce que Daniel White appela le Mandelbulb peut être trouvée
ici.
Cette fractale possède une importante quantité de détails, que ce soit des pics jaillissant de la structure, ou des alcôves ressemblant à des ruches d'abeilles, ou encore une texture parfaitement lisse au milieu de petites pointes, et ce à toutes les échelles.
Conclusion
C'est une avancée intéressante, aussi bien dans le domaine informatique que dans les mathématiques, car les fractales sont des objets relativement incompris. De plus, les avancées technologiques nous ont permis de mettre à l'épreuve les travaux de mathématiciens datant de l'époque où les ordinateurs peinaient à faire un rendu de la fractale de Mandelbrot. Remarquez que selon Daniel White, un rendu de 4000 pixels par 4000 du Mandelbulb pouvait durer jusqu'à une semaine.
Liens
- Cours de l'université de Yale sur les fractales.
- Premier article de Daniel White, avec les premiers essais de la fractale en 3D.
- Second article de Daniel White, avec les rendus du Mandelbulb.
- Vidéo d'un agrandissement progressif du Mandelbulb.
- TD de Wikiversité sur l'implémentation d'un moyen de représentation de la fractale de Mandelbrot.
- Atelier Cod'Art, où beaucoup de zéros ont posté des rendus de fractales.
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