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A la découverte de l'aléatoire et des probabilités

Par

sebsheep

Mise à jour : 25/05/2010

Difficulté : Facile Facile

652 visites depuis 7 jours, classé 174/778

Logos réalisés par Laolis

Chers zéros, bonjour et bienvenue sur ce tutoriel !

L'aléatoire intervient dans de nombreux phénomènes, du simple lancer de dé aux mouvements de particules subatomiques, en passant par le cours d'actions en bourse et j'en passe. Il est donc intéressant de l'étudier, et en particulier de le simuler afin de prévoir l'évolution de certains paramètres. Cette étude relève du domaine des probabilités.

Vous découvrirez ici de nombreuses facettes de l'aléatoire et de ses applications parfois surprenantes. Vous apprendrez bien sûr à vous servir de la fameuse fonction rand, et bien plus encore : vous comprendrez entre autres le fonctionnement interne de cette fonction ! Vous serez alors capables de créer votre propre fonction rand, et même de simuler un dé pipé, ou d'autres phénomènes aléatoires complexes. On s'intéressera également au calcul des intégrales (des "surfaces" si vous préférez), calculs utiles dans de nombreuses branches des sciences et de l'ingénierie.

A qui est destiné ce cours ?

La philosophie de ce cours est d'expliquer au plus grand nombre tous les concepts et résultats présentés. Les pré-requis mathématiques sont donc relativement faibles : fin du collège du système français. Ce tutoriel pourra donc intéresser les curieux qui aiment comprendre le fond des choses ou des étudiants souhaitant avoir une vue d'ensemble avant d'aborder un cours de probabilités.

Le but de ce tutoriel est d'expliquer les concepts, pas de donner la méthode la plus efficace possible pour tous les algorithmes présentés. Il peut constituer une excellente "mise en bouche" mais n'a absolument pas la prétention de se substituer à un véritable cours de mathématiques, ni d'être une référence technique à ce sujet.

Une dernière note avant de commencer : les différentes parties ont été écrites à des moments et dans des esprits différents. Concrètement, les chapitres de la première partie sont des articles indépendants : il possible de les lire dans n'importe quel ordre. La deuxième partie vous présente une application originale de l'aléatoire et constitue un seul bloc, il est par conséquent conseillé de la lire dans l'ordre.

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Ce cours est composé des parties suivantes :

Simuler l'aléatoire
La méthode de Monte Carlo
Lire aussi
Commentaires et appréciations

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Partie 1 : Simuler l'aléatoire

Dans cette partie, nous allons voir des techniques permettant de "simuler" l'aléatoire. En particulier, vous découvrirez comment fonctionne la fonction "rand", qui permet dans la plupart des langages de créer un entier aléatoire. Cela permet par exemple de simuler simplement un lancé de dé "normal".

Dans le 3ème article, vous allez aussi apprendre à simuler un dé "pipé" de façon efficace, et vous découvrirez également une méthode permettant de simuler des lois de probabilité un peu plus complexes.

A venir prochainement : la simulation de variables aléatoires continues.

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Partie 2 : La méthode de Monte Carlo
Avez-vous entendu parler du "Projet Manhattan" ? Non ? Bon, le bombardement de Nagasaki et Hiroshima, peut-être ? Ah déjà ça vous parle !

Mais quel peut bien être le rapport entre 2 villes japonaises, un quartier New-yorkais et un quartier de Monaco ?

Hiroshima et Nagasaki ont été bombardées avec des bombes atomiques (ça, vous êtes sensés savoir !) ; bombes atomiques qui ont été développées par les américains à la fin de la Seconde Guerre mondiale, dans le cadre du "Projet Manhattan". Projet qui, pour la première fois de l'histoire, a utilisé massivement ces fameuses méthodes dites de Monte Carlo pour effectuer des calculs.

Mais pourquoi Monte Carlo me direz vous ? Eh bien tout simplement car ces méthodes sont basées sur la simulation de nombres aléatoires ; qui dit "nombre aléatoire" dit "hasard", et qui dit "hasard" fait fortement penser aux casinos... D'où le nom !

Dans cette partie, vous allez donc comprendre comment fonctionnent ces méthodes et quels sont leurs avantages par rapport aux méthodes plus "classiques" (à propos desquelles nous serons obligés de dire quelques mots).

La partie se découpe en 3 :
- Un premier exemple introductif accessible à tout le monde où l'on découvre une méthode originale pour calculer pi ;
- des explications un peu plus théoriques sur la méthode, son utilisation et ses avantages avec des méthodes plus "classiques". Cette section, décomposée en deux chapitres, est un peu plus corsée mathématiquement ; j'essaierai de la rendre accessible à tout le monde mais un niveau de seconde (système français) me semble un minimum ;
- un exemple d'application finale utilisant la méthode décrite précédemment : le calcul de la valeur du champ électrique autour d'une plaque chargée (à venir).
Je remercie particulièrement OujA, alexzero, Catsoulet, Zmatt, hugo125, Layus, souls killer, yoch et mon papa (qui a le mérite de n'être ni matheux ni geek et d'avoir lu mon tutoriel en entier sans broncher) pour leurs relectures attentives de cette partie.

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Lire aussi

	Fabriquez votre propre fonction "rand"
	Simuler une distribution de cartes géométrique
	Passez dans les dimensions supérieures
	Savez-vous intégrer ?

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12 commentaires pour "A la découverte de l'aléatoire et des probabilités"

Note moyenne : 3.91 / 4 (33 votes)

Pseudo	Commentaire
nietzsche	# Posté le 24/06/2009 à 14:57:10
Fan de Cynthia Prion Groupe : Bannis	Vivement la suite ! #LGDF: nietzsche vaincra ! Si jamais joyeusement je fus assis là où d'antiques dieux jouissent ensevelis, bénissant le monde, aimant le monde auprès des mémoriaux de ceux qui jadis ont calotté le monde ; - - car me sont chères même les églises et les tombeaux des dieux dès que le ciel, au travers de leurs toits baisés, regarde d'un œil pur; comme l'herbe et le rouge pavot, sur des ruines d'églises j'aime m'assoupir. - oh ! comment de l'éternité n'aurais-je concupiscence, et du nuptial anneau des mazots, - de l'anneau du retour ?
anonyme	# Posté le 02/07/2009 à 14:14:09
	Bon boulot sur le Monte Carlo. Je sais pas si une suite à l'application en simulation de systèmes biologiques ou chimiques est prévue mais ça pourrait être un bon plus pour montrer les utilisations actuelles de ces méthodes.
Suzy	# Posté le 20/07/2009 à 11:45:00
Peuh !	Excellent ce petit tuto ! Je ne l'ai pas lu dans son intégralité (je l'admet...) mais je l'ai survolé et il me semble très facile à comprendre et surtout bien illustré ! Ca me change des cours en pseudo français-allemand que j'ai pu avoir sur cette méthode (bien que sans que je puisse expliquer comment, j'avais déjà parfaitement compris !) Juste pour information, cette méthode est pas mal utilisé pour modéliser des systèmes complexes, notamment en nucléaire... Si jamais tu veux des exercices, j'ai fait 6 TP vraiment pas mal sur cette méthode (calcul d'aire, de volume, calcul de niveau dans un tonneau biscornu penché et qui contient des objets, calcul de criticité d'une réaction nucléaire, etc...) En fait, la méthode Monte Carlo est énormément utilisée pour générer des évènements aléatoires en grand nombre comme on peut en trouver dans les expériences de physiques des hautes énergies. Si jamais ça intéresse des gens, la méthode est utilisée notamment avec GEANT4. "La seule chose absolue dans un monde comme le nôtre, c'est l'humour." Einstein Tutoriel sur le langage Python
hirhkarn	# Posté le 28/05/2010 à 19:02:39
Cerveau en bêta-test	Très bon tutoriel ! Bien qu'étant en 4ème, j'ai parfaitement compris dès ma première lecture ! (Certe, je suis un matheux, mais quand même !) Seconde au Lycée Robert Schuman - Haguenau Programmeur VB.NET, C, C++. Aime le chocolat noir 70% (comment ça HS ?)
anonymeboy	# Posté le 08/01/2011 à 14:42:39
Avis : Très bon Ville : Montluçon Pays : France métropolitaine	J'ai adoré ! A quand le TP ?