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La trigonométrie

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Bon, voilà un chapitre purement mathématique, mais c'est aussi l'un des plus importants avant d'entamer la 3D via la trigonométrie.

Vous savez sûrement la plupart des choses que je vais vous dire dans ce tuto (pour les avoir vues en cours en général), mais c'est toujours bon de se rafraîchir la mémoire juste avant d'utiliser ces vieux théorèmes.

Nous allons nous intéresser aux notions de fonctions trigonométriques (cosinus, sinus, tangente) et au cercle trigonométrique.

Sommaire du chapitre :

Fonctions trigonométriques
Cercle trigonométrique
Formule
ActionScript

Fonctions trigonométriques

Prenons un triangle ABC rectangle en A (soit A est un angle droit, angle(A) = 90°) :

Choisissons un angle de ce triangle, différent de l'angle droit. Par exemple : l'angle B, x1 et x2 sont des inconnues.

On appelle hypoténuse du triangle, le plus grand des 3 côtés, dans un triangle rectangle celui-ci est toujours le côté qui ne touche pas l'angle droit (ici c'est donc le segment [BC]).
On appelle côté adjacent à B, le côté qui touche l'angle B et qui n'est pas l'hypoténuse (ici c'est donc le segment [BA]).
On appelle côté opposé à B le côté qui ne touche pas l'angle B (ici c'est donc le segment [AC]).

Fonctions trigonométriques de base :
Nous n'en aurons besoin que de deux, les plus connues, à savoir le cosinus et le sinus. Pour les autres, elles sont listées sur cette page : Fonctions trigonométriques.

Par définition, on a :

$\cos {(\hat{X})} = \frac{\, cote \, adjacent \,}{hypotenuse} \,\,\,soit \,\, ici \,\,\, \cos {(\hat{B})} = \frac{\, BA \,}{BC}$

$\sin {(\hat{X})} = \frac{\, cote \, oppose \,}{hypotenuse} \,\,\,soit \,\, ici \,\,\, \sin {(\hat{B})} = \frac{\, CA \,}{CB}$

Le cosinus et le sinus sont toujours des nombres compris entre -1 et 1 (inclus), et ils sont sans unité c'est-à-dire que ce sont de simples nombres, ils n'ont pas de représentation physique à eux seuls.

Cercle trigonométrique

Un cercle trigonométrique (aussi appeler cercle unité) est un cercle de centre O (0,0) et de rayon 1.
Cela signifie que tout les points qui forment le cercle sont tous à la même distance (on dit équidistance) du centre (le point O(0,0)), et cette distance est de 1.

Remarquez que quand je dis '1', je ne précise pas d'unité, tout simplement parceque vous pouvez choisir la vôtre, ça peut être 1 centimètre, 18 pixels ou aussi 27 mètres.

Bon je vais vous faire un petit dessin :
Cercle trigonométrique.

C'est joli un cercle non ? Oui mais ça ne nous sert pas à grand-chose de savoir ce qu'est un cercle trigonométrique pour l'instant.

Mais vous allez voir où je voulais en venir.

On va choisir un angle $a$ au hasard (en degrés), puis on va placer sur notre cercle l'unique point $B$ , tel que l'angle $A\hat{O}B \, = \, a$
Angle 60°.

Analysons maintenant les coordonnées du point $B$ :

Coordonnées de B.

Puis exprimons le cosinus et le sinus de $a$ : (dans le triangle $OXB$ rectangle en $X$ .)

$\cos{(a) \, = \, \frac{OX}{OB} \, et \, \sin{(a) \, = \, \frac{BX}{OB}$

Mais remarquons plusieurs choses :

$[OB]$ est un rayon du cercle trigonométrique, on a donc $OB=1$ .
$BXOY$ est un rectangle, on a donc $BX = OY$ .

Après simplification, on a donc :
$\cos{(a) \, = \, OX \, et \, \sin{(a) \, = \, OY$

On en déduit donc que les coordonnées du point $B$ sont $(\cos{(a)},\sin{(a)})$

Voilà ce que vous avez besoin de savoir sur le cercle trigonométrique.

Formule

Dans la suite du tuto, nous aurons besoin de deux formules de trigonométrie.
Ces formules sont importantes, même si elles sont relativement compliquées je vous conseille quand même de les apprendre par coeur.
Les voici :

$\cos{(a+b)} \, = \, \cos{(a)}*\cos{(b)}-\sin{(a)}*\sin{(b)}$
$\sin{(a+b)} \, = \, \sin{(a)}*\cos{(b)}+\cos{(a)}*\sin{(b)}$

Leur démonstration demande une certain niveau en maths, cela ne sert donc à rien que j'essaye de vous le démontrer, la plupart d'entre vous ne comprendraient rien à la démonstration.

Je vous demande juste d'admettre qu'elles sont vraies.

ActionScript

Dans l'application que nous allons en faire, les cosinus et sinus vont nous servir, à partir d'un angle, à trouver les coordonnées de notre clip.
Or dans la définition, on a plutôt appris à faire le contraire, c'est-à-dire à déterminer le cosinus, et le sinus à partir de la longueur des côtés.
Dans l'autre sens, vous ne savez apparemment pas le faire (mais rassurez-vous très peu de gens le savent

).
En plus, cela ne va pas nous poser de problème, si vous ne connaissez pas les valeurs du cosinus, et du sinus et d'un angle, votre ordinateur, lui, les connaît, et donc si vous les lui demandez (poliment bien sûr, il ne faut surtout pas le vexer

) il pourra vous les donner.

En ActionScript, il faut utiliser la classe Math (La doc de cette classe est disponible ici)
Cela nous donnera donc :
Code : Actionscript

1
2
3

var angle:Number = 1; // la valeur de angle dont vous voulez le cosinus et sinus.
var monCos:Number = Math.cos(angle);
var monSin:Number = Math.sin(angle);

A savoir aussi, les méthode 'Math.cos()' et 'Math.sin()' réclament un nombre en Radians et non en degrés.

Pour faire cette conversion, je vous propose un petit exercice d'entraînement.

A savoir : 180 degrés = $\pi$ radians, en ActionScript la valeur de $\pi$ est accessible via la propriété 'Math.PI'.
Une propriété est une variable associée à un objet, c'est la même chose que les méthodes par rapport aux fonctions.

Il faut créer une fonction 'conversion_radians()' qui devra :

Recevoir en paramètre un nombre qu'il enregistrera dans une variable 'degre'.
Effectuer la conversion degrés/radians.
Renvoyer le résultat obtenu via un 'return'.

Secret (cliquez pour afficher)

Code : Actionscript

function conversion_radians(degre:Number):Number{
    return degre/180*Math.PI;
}
// exemple : conversion_radians(90) == Math.PI/2

Bon voilà pour le niveau de trigonométrie dont nous allons avoir besoin, le but de ce tuto n'étant pas de vous apprendre la trigonométrie, je ne me suis pas étendu.
Il faut savoir qu'il existe beaucoup de formules, mais que l'on peut en général toutes les retrouver avec les deux grosses formules que je vous ai données.

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	Auteur : heero78 Visualisations : 3 552 Plus d'informations Créé : le 26/11/2007 à 08:11:58 Modifié : le 22/08/2008 à 15:50:10 Avancement : 0% Licence : Copie non autorisée 2 commentaires