Du décimal au binaire

Les systèmes décimal, binaire et hexadécimal sont tous trois des systèmes de numération.
Ils sont associés à une base.

La base d'un système de numération est le nombre de symboles différents utilisables dans ce système de numération.

• Le système décimal est associé à la base 10.
  En effet, on peut utiliser dix symboles dans ce système de numération, ce sont les chiffres de 0 à 9.
  C'est le système de numération que vous utilisez tous les jours.
• Le système binaire est associé à la base 2.
  On peut effectivement utiliser deux symboles dans ce système de numération, à savoir 0 et 1.
  Cela peut correspondre à diverses choses, notamment :
  
  • en électricité, le courant passe (1) ou non (0) ;
  • d'une manière générale, vrai (1) ou faux (0).
  C'est ce système de numération qui permet de stocker des informations dans la mémoire de votre ordinateur.
  Chaque chiffre d'un nombre binaire est appelé bit, pour BInary digiT, soit chiffre binaire.
  
  Huit bits forment un octet.
  Avec n bits, on peut former 2ⁿ nombres différents.
• Le système hexadécimal est associé à la base 16.
  On peut donc y utiliser seize symboles, il s'agit des chiffres de 0 à 9 et des lettres de A à F.
  Ce système de numération permet une écriture raccourcie du système binaire, nous verrons cela lorsque nous parlerons de transcodage.
• Le système octal est associé à la base 8.
  On peut y utiliser huit symboles, qui sont les chiffres de 0 à 7.
  Il permet lui aussi une écriture raccourcie du système binaire ; cependant, il est nettement moins utilisé que le système hexadécimal.

La notation x_base permet de savoir dans quelle base un nombre x est donné.
De plus, quand un nombre est précédé d'un $, c'est qu'il est donné en hexadécimal, et d'un % en binaire.
Dans le cas d'un code de couleur, donné en hexadécimal, il est souvent précédé d'un #, comme dans le langage de présentation CSS.
Sans précision, il est en général donné en décimal.

Pour compter de 1 en 1 dans une certaine base, il suffit d'appliquer ce que vous avez vu à l'école primaire.
Vous le faites sûrement inconsciemment maintenant, mais voici ce que l'on vous a appris, valable pour la base 10 :

• on part de 0 ;
• on écrit chaque chiffre dans l'ordre qu'on a appris ;
• une fois qu'on est à 9, on a épuisé tous les chiffres, on rajoute 1 dans la colonne des dizaines et on revient à 0 ;
  Si on doit rajouter 1 dans la colonne des dizaines et qu'on a épuisé tous les chiffres, on passe à 0 dans la colonne des dizaines et on rajoute 1 dans la colonne des centaines ;
• et ainsi de suite.

Cela est valable pour toutes les bases, en remplaçant 9 par le dernier symbole dans la base en question.
Les exemples suivants sont à lire de gauche à droite, de haut en bas, en se disant bien qu'une ligne correspond à l'utilisation de chacun des symboles de la base.

Exemple avec la base 10 :

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99
100	101	102	103	104	105	106	107	108	109
110	111	112	113	114	115	116	117	118	119
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Exemple avec la base 2 :

0	1
0	1
10	11
100	101
110	111
1000	1001
1010	1011
1100	1101
1110	1111
10000	10001
10010	10011
...	...

Exemple avec la base 8 :

0	1	2	3	4	5	6	7
0	1	2	3	4	5	6	7
10	11	12	13	14	15	16	17
20	21	22	23	24	25	26	27
...	...	...	...	...	...	...	...
70	71	72	73	74	75	76	77
100	101	102	103	104	105	106	107
110	111	112	113	114	115	116	117
...	...	...	...	...	...	...	...

Exemple avec la base 16 :

0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	A	B	C	D	E	F
10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	1A	1B	1C	1D	1E	1F
20	21	22	23	24	25	26	27	28	29	2A	2B	2C	2D	2E	2F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
90	91	92	93	94	95	96	97	98	99	9A	9B	9C	9D	9E	9F
A0	A1	A2	A3	A4	A5	A6	A7	A8	A9	AA	AB	AC	AD	AE	AF
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...
100	101	102	103	104	105	106	107	108	109	10A	10B	10C	10D	10E	10F
110	111	112	113	114	115	116	117	118	119	11A	11B	11C	11D	11E	11F
...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...	...

Je vous propose un petit tableau récapitulatif avec les nombres de 0 à 15 dans les quatre bases que nous étudions.

Base 2	Base 8	Base 10	Base 16
0	0	0	0
1	1	1	1
10	2	2	2
11	3	3	3
100	4	4	4
101	5	5	5
110	6	6	6
111	7	7	7
1000	10	8	8
1001	11	9	9
1010	12	10	A
1011	13	11	B
1100	14	12	C
1101	15	13	D
1110	16	14	E
1111	17	15	F

Un nombre donné dans une certaine base peut se décomposer dans celle-ci, en se mettant sous la forme suivante :

Où :

• b est la base dans laquelle il est donné, en vert sur la formule ;
  Remarque : b⁰ sera toujours égal à 1.
• n est le nombre de chiffres du nombre ôté de 1 et correspond au plus grand poids ;
• x_y est le chiffre de poids y, en bleu sur la formule.

Le poids d'un chiffre correspond à sa position dans le nombre, en commençant par le poids 0 et en lisant de droite à gauche.
Il est en rouge sur la formule.
Pour un nombre donné en binaire, on appelle MSB ou bit de poids fort le bit ayant le poids le plus grand, et LSB ou bit de poids faible le bit ayant le poids le plus petit.

Exemple :
Dans le nombre 144₁₀, le chiffre de poids 0 est 4, le chiffre de poids 1 est 4 et le chiffre de poids 2 est 1.
Sa décomposition dans sa base est donc :

En calculant, on retrouve bien 144 : 100 + 40 + 4 = 144.
Et c'est tout.

On appelle décodage, le passage d'un nombre donné en une base quelconque vers la base 10.
Si vous avez compris la sous-partie précédente, vous n'aurez aucun mal à réaliser cela.
En effet, pour effectuer un décodage, il suffit de décomposer le nombre en question dans sa base et de calculer.

Pour vous aider, voici des tableaux des puissances de 2, 8 et 16 :

Puissances de 2

16	15	14	13	12	11	10	9	8	7	6	5	4	3	2	1	0
65 536	32 768	16 384	8 192	4 096	2 048	1 024	512	256	128	64	32	16	8	4	2	1

Puissances de 8

8	7	6	5	4	3	2	1	0
16 777 216	2 097 152	262 144	32 768	4 096	512	64	8	1

Puissances de 16

8	7	6	5	4	3	2	1	0
4 294 967 296	268 435 456	16 777 216	1 048 576	65 536	4 096	256	16	1

Exemple avec la base 2 :
10011111₂
= 1 x 2⁷ + 0 x 2⁶ + 0 x 2⁵ + 1 x 2⁴ + 1 x 2³ + 1 x 2² + 1 x 2¹ + 1 x 2⁰
= 128 + 0 + 0 + 16 + 8 + 4 + 2 + 1
= 159₁₀

Exemple avec la base 8 :
457₈
= 4 x 8² + 5 x 8¹ + 7 x 8⁰
= 4 x 64 + 5 x 8 + 7
= 256 + 40 + 7
= 303₁₀

Exemple avec la base 16 :
AE2₁₆
= A x 16² + E x 16¹ + 2 x 16⁰
= 10 x 16² + 14 x 16¹ + 2 x 16⁰
= 10 x 256 + 14 x 16 + 2
= 2560 + 224 + 2
= 2786₁₀

Rappelez-vous si vous rencontrez des problèmes lors du calcul que poser une addition ne peut pas faire de mal.

On appelle codage, le passage d'un nombre en base 10 vers une autre base.
Nous verrons deux manières de le faire.

Codage par divisions entières successives

La première façon consiste à diviser le nombre décimal par la base vers laquelle on veut le coder, jusqu'à obtenir un quotient tenant sur un symbole de cette base.
Le dividende est d'abord le nombre décimal en lui-même, puis le quotient obtenu.
Le diviseur est toujours la base.
Le premier reste trouvé est alors le chiffre de poids faible, et le quotient final le chiffre de poids fort.
Les autres restes forment les autres chiffres.
Il faut donc lire de droite à gauche les chiffres trouvés pour avoir notre nombre dans sa nouvelle base.

Exemple avec la base 2 :


Exemple avec la base 8 :


Exemple avec la base 16 :

Codage par soustractions successives

La deuxième méthode consiste à chercher le nombre de fois que l'on retrouve chacune des puissances de la base à l'aide de soustractions.
On cherche la puissance de la base égale ou tout de suite inférieure au nombre à coder, puis on la soustrait, et on recommence avec le résultat jusqu'à obtenir 0.
Le chiffre de poids p a alors pour valeur le nombre de fois que l'on a soustrait b^p au nombre décimal.
Cette méthode devient vite compliquée avec une base autre que la base 2, car les puissances deviennent vite de gros chiffres.
Dans les autres cas, on préfèrera donc la méthode par division.

Exemple avec la base 2 :
On veut coder le nombre 130₁₀ en base 2.
La puissance de 2, inférieure ou égale, la plus proche est 2⁷ = 128.
130 - 128 = 2
La puissance de 2, inférieure ou égale, la plus proche est 2¹ = 2.
2 - 2 = 0
On a retrouvé 1 x 2⁷ et 1 x 2¹, donc les bits de poids 1 et 7 seront à 1.
130₁₀ = 10000010₂

On appelle transcodage, le passage d'une base autre que la base 10 à une autre base, elle aussi n'étant pas la base 10.

Je vous avais dit que les systèmes hexadécimal et octal permettaient une écriture raccourcie du système binaire, c'est ce que nous allons voir.

Vous vous souvenez quand je vous ai dit au début qu'avec n bits, on pouvait former 2ⁿ nombres différents ?
C'est de cela que l'on va se servir.

Transcodage entre binaire et octal

En application de cette formule, avec trois bits on peut former 2³ nombres différents, soit 8.
Or, avec un chiffre en octal, on peut également former huit nombres différents.
Du coup, en regroupant par groupes de trois bits un nombre binaire, chaque groupe de trois bits correspond à un chiffre du nombre en base 8.
Au besoin, c'est-à-dire si l'on n'a pas un nombre de bits multiple de 3, on peut rajouter des zéros à gauche du nombre jusqu'à obtenir uniquement des groupes de 3, ce qui, comme en décimal, ne change rien au nombre.

Exemple : transcodage du nombre 11101001₂ vers la base 8.

• Séparation en groupes de trois bits : 011 101 001.
• Calcul des chiffres en base 8 correspondant à chaque groupe :
  
  • 011₂ = 3₈
  • 101₂ = 5₈
  • 001₂ = 1₈
• Remplacement des groupes de trois bits par leur équivalent en base 8 :
  11101001₂ = 351₈

Exemple : transcodage du nombre 762₈ vers la base 2.

• Calcul des groupes de trois bits correspondant à chaque chiffre en base 8 :
  
  • 7₈ = 111₂
  • 6₈ = 110₂
  • 2₈ = 010₂
• Remplacement des chiffres en base 8 par les groupes de trois bits équivalents :
  762₈ = 111110010₂

Transcodage entre binaire et hexadécimal

Le transcodage entre les bases 2 et 16 fonctionne de la même façon, mais avec des groupes de quatre bits, qu'on appelle quartets.
Cela parce qu'avec quatre bits, on peut former 2⁴ nombres différents, soit 16, et qu'avec un chiffre en hexadécimal, on peut également former seize nombres différents.

Exemple : transcodage du nombre 11101001₂ vers la base 16.

• Séparation en quartets de bits : 1110 1001
• Calcul des chiffres en base 16 correspondant à chaque groupe :
  
  • 1110₂ = 14₁₀ = E₁₆
  • 1001₂ = 9₁₀ = 9₁₆
• Remplacement des quartets de bits par leur équivalent en base 16 :
  11101001₂ = E9₁₆

Exemple : transcodage du nombre A18₁₆ vers la base 2.

• Calcul des quartets de bits correspondant à chaque chiffre en base 16 :
  
  • A₁₆ = 10₁₀ = 1010₂
  • 1₁₆ = 1₁₀ = 0001₂
  • 8₁₆ = 8₁₀ = 1000₂
• Remplacement des chiffres en base 16 par les quartets de bits équivalents :
  A18₁₆ = 101000011000₂

Pensez à utiliser le tableau des nombres de 0 à 15, vu plus haut, dans les différentes bases au besoin.

Maintenant que vous savez tout cela, il serait bon de pouvoir en profiter dans vos programmes, si vous programmez.
Ce que je vais vous indiquer, est valable pour les langages de programmation s'étant inspirés de la notation utilisée en C pour exprimer un nombre en bases 8 et 16.
Cela comprend notamment C, C++, Java, PHP, Python et Ruby.

• Pour indiquer un nombre en décimal, on indique simplement le nombre.
  Exemple :
  Code : C

  1	int nombre = 20; /* nombre vaut 20 en base 10. */

• Pour indiquer un nombre en octal, on le fait précéder d'un zéro.
  Exemple :
  Code : C

  1	int nombre = 020; /* nombre vaut 20 en base 8, soit 16 en base 10. */

• Pour indiquer un nombre en hexadécimal, on le fait précéder d'un zéro et d'un x.
  Exemple :
  Code : C

  1	int nombre = 0x20; /* nombre vaut 20 en base 16, soit 32 en base 10. */

C'est bien beau d'avoir appris tout ça, mais on peut se demander à quoi ça sert.
Désolé si je vous déçois, mais le but de tout cela n'est pas uniquement le plaisir de se triturer le cerveau.

Utilisation de l'octal

L'octal peut être pratique dans le cas d'un système de droits d'accès où les droits se regroupent par trois.
C'est notamment le cas pour les systèmes de droits des systèmes basés sur UNIX (chmod, ça vous dit quelque chose ?).
Ainsi, on y utilise un nombre octal pour stocker les droits, c'est-à-dire un bit par droit :

• si le MSB est à 1, alors le droit en lecture est accordé ;
• si le bit de poids 1 est à 1, alors le droit en écriture est accordé ;
• si le LSB est à 1, alors le droit en exécution est accordé.

Pour aller plus loin :

• tutoriel sur les chmod.

Utilisation de l'hexadécimal

Voici dans quels domaines l'hexadécimal peut être utilisé.

• Pour représenter un motif binaire plus facilement qu'en passant par sa représentation décimale.
• Pour indiquer le code d'une couleur, dans les langages de présentation type CSS, et dans les fichiers d'image dits en couleurs vraies.
  Une couleur est alors indiquée par trois octets, soit six chiffres hexadécimaux ; chaque octet représentant la quantité de rouge, de vert et de bleu utilisée pour former la couleur finale par des nombres allant de 0 à 255.
  
  Pour aller plus loin :
  
  • utilisation des couleurs en CSS ;
  • les images en couleurs vraies sur Wikipédia.
• Vous connaissez peut-être l'Action Replay, il s'agit d'un appareil de triche pour les consoles de jeux.
  Il permet d'obtenir de nombreuses choses telles que de la vie à l'infini, et ce, pour la plupart des jeux.
  Vous ne vous êtes jamais demandés comment cela peut être possible ?
  En fait, les « codes Action Replay » sont composés d'une adresse mémoire et d'une valeur.
  Lorsque vous mettez l'interrupteur en position de marche, l'Action Replay modifie l'emplacement mémoire (l'octet, si vous préférez) situé à l'adresse en question en lui mettant la valeur souhaitée.
  
  Exemple avec un code de vie infinie :
  
  • l'Action Replay met l'emplacement correspondant à la vie à 0A₁₆, soit 10₁₀ points de vie ;
  • le personnage est touché ! ;
  • le jeu modifie l'emplacement mémoire ;
  • l'Action Replay le remet à 0A₁₆.
  
  
  Et ainsi de suite.
  Dès lors, vous vous doutez que l'utilisation de l'Action Replay est très risquée.
  Si on modifie le mauvais emplacement, les dégâts peuvent être considérables.

Voilà, c'est la fin de cette petite parenthèse.
Il y a, bien entendu, de nombreuses autres utilisations, que vous découvrirez sûrement par vous-même au cours de votre périple dans les contrées de l'informatique.