Les vecteurs

Il est avant-tout important de savoir additionner et soustraire deux vecteurs, ces opérations très simples sont la base des vecteurs mais on les utilise tout le temps, il est donc important de les maîtriser

Attention préparez-vous, car ce chapitre va pleuvoir de schémas. Je me baserai sur une illustration 2D, mais les calculs que je ferai sont tout à fait appliquables en 3D, et heuresement, car c'est notre objectif

Un vecteur, c'est quoi ?

En voilà une bonne question



Vous pouvez comparer un vecteur avec une direction. Un vecteur marche aussi bien en 1D, qu'en 2D et qu'en 3D, les principes sont les mêmes


Je vous propose de subir voir mon premier schéma, qui illustre un plan 2D et un vecteur dessiné dans ce plan :



Cette barre rouge au milieu est un vecteur, comme vous le voyez, elle représente une direction.
Ce vecteur v s'écrit comme ceci :

v(1; 1)

Le premier chiffre représente la composante x, et le second la composante y. Pour les vecteurs 3D, il y a une 3eme composate : la composante z. Ici notre vecteur peut être transformé en vecteur 3D, il aura donc une composante z nulle :

v(1; 1; 0)

Puisque un vecteur représente une direction, on part du principe qu'un vecteur commence toujours au point (0; 0).

L'addition de vecteurs

L'addition de vecteurs sert à obtenir une coordonnée finale dans l'espace résultante de plusieurs vecteurs.
Comme l'illustre le schéma ci-dessous, mes deux vecteurs additionnés donnent naissance à un 3eme point qui est le résultat de l'addition des vecteurs a et b :



Vous pouvez toujours additionner un vecteur à un autre, et ainsi vous ballader librement dans l'espace, c'est un peu le principe qui est utilisé pour les caméras dans les jeux vidéos : la position de la caméra est représentée par un vecteur auquel on en additionne d'autres afin de déplacer la caméra

Pour additionner deux vecteurs mathématiquement, on procède à l'addition de chaque composante du vecteur a par la même composante chez le vecteur b :

a(1; 0) + b(0; 1) = v(1; 1)

Soit :

v.x = a.x + b.x
v.y = a.y + b.y

Essayons d'additionner plusieurs vecteurs entres eux.
Nous allons additionner 3 vecteurs : a, b et c.
Voici ces trois vecteurs :





Je vais vous représenter tout ces vecteurs autrement On peut schématiser l'addition comme ceci :



Ici, le vecteur résultant, v, se calcul ainsi :

v.x = a.x + b.x + c.x
v.y = a.y + b.y + c.y

Ce qui donne :

v.x = -2 + 2 + 1
v.y = 1 + 2 + -2

Nous obtenons donc le vecteur v(1; 1).

Notez que l'ordre d'addition n'a pas d'importance, en effet, par exemple : 2+1 = 1+2
Voyez ci-dessous l'illustration d'un autre ordre d'addition : on retombe exactement au même endroit qu'avant (1; 1) :

L'addition de vecteurs pour trouver une moyenne

L'addition de vecteurs peut également servir à trouver un vecteur moyen entre plusieurs vecteurs, en fait c'est ce que nous avons fait jusqu'à maintenant, mais à présent si nous considérons la position résultante de l'addition de plusieurs vecteurs comme une direction et non une position, nous obtenons en fait la direction moyenne de tous les vecteurs additionnés
Un peu compliqué à gober comme ça hein ? Reprenons notre premier schéma sur l'addition des vecteurs :



Nous voyons ici que le vecteur résultant est positionné exactement entre a et b. Il est souvent utile de connaître une moyenne entre plusieurs directions, à présent vous savez comment faire, il suffit d'additionner toutes ces directions entres elles

La soustraction de vecteurs

La soustraction de vecteurs est utilisée pour connaître la direction qui va d'un point à un autre.
Supposez que vous ayez les coordonnées dans l'espace de deux objets A et B, et que vous vouliez connaître le vecteur qui va de A vers B, ou de B vers A, il va vous falloir utiliser la soustraction de vecteurs.


Imaginez par exemple que vous vouliez programmer une animation fluide qui déplace l'objet A vers l'objet B, il vous faudra connaître la direction dans laquelle déplacer A, la soustraction de vecteurs est inévitable

Voici un schéma de base pour illustrer ce que nous recherchons :



Nous allons calculer le vecteur v en soustrayant A à B. Cela fonctionne exactement de la même façon que l'addition, rien de plus simple :

v.x = B.x - A.x
v.y = B.y - A.y

Ce qui revient à effectuer le calcul suivant :

v.x = -2 - 3
v.y = 1 - 2

Nous obtenons le vecteur v(-5; -1). Si nous le traçons dans le plan, nous obtenons... ceci :



Mais si, il suffit de placer l'origine du vecteur sur le point A et nous obtenons ce que nous cherchions

Une question de longueur

Avant de voir ce qu'est la normalisation d'un vecteur, il nous faut d'abord voir ce qu'est sa longueur et ce qu'elle représente

La longueur d'un vecteur, c'est quoi ?

La longueur d'un vecteur, c'est la distance qui sépare le point (0; 0) du point pointé par le vecteur dont on veut connaître la longueur.
Lorsque nous dessinons ceci :



Il est aisé de s'appercevoir que la longueur du vecteur v est de 1.
En revanche, la longueur d'un vecteur comme nous en avons vu tout à l'heure :



est moins évidente, il nous faut la calculer.

Calculer la longueur d'un vecteur

Vous connaîssez probablement Pythagore, ce Grec philosophe et mathématicien de l'antiquité ? Non ? Mais alors connaîssez-vous seulement son théorème ? Si vous ne le connaîssez pas, vous risquez d'avoir quelques difficultés à comprendre cette partie du chapitre...

La longueur d'un vecteur se calcule ainsi :



Dans le cas d'un vecteur à 3 dimensions, le calcul est le même, il suffit de rajouter la composante z comme ceci :



longueur est égal à la longueur du vecteur v.
Il est possible d'illustrer le calcul de la longueur de notre vecteur à deux dimensions v :



Nous remarquons ici la présence d'un triangle rectangle, sur lequel on a en fait tout simplement appliqué le théorème de Pythagore

La normalisation

La normalisation d'un vecteur revient à donner une norme de 1 à sa longueur. Ce qui veut dire que la longueur d'un vecteur normalisé est toujours de 1.

Représentation de la normalisation

Il est possible d'illustrer la normalisation d'un vecteur par un simple schéma :



Soit 1 le rayon de ce cercle, tout vecteur partant du point (0; 0) et ayant une longueur de 1 touchera pile poil un endroit de la courbe de ce cercle.


L'utilité est difficile à démontrer pour l'instant, nous verrons cela plus bas lorsque nous parlerons du produit scalaire.

Calcul de la normalisation

Effectuer une normalisation est très simple, surtout si l'on sait calculer la longueur d'un vecteur et qu'on a bien compris le principe de la normalisation

Il suffit en fait de diviser chaque composante du vecteur (x, y, z (si 3D)) par la longueur du vecteur, et nous obtenons un vecteur normalisé.
Rappelez-vous du calcul de la longueur d'un vecteur, vu plus haut. Nous avons donc une valeur appelée longueur qui est la longueur de notre vecteur v.
Puisque la normalisation d'un vecteur signifie qu'il faut diviser chaque composante du vecteur par la longueur du vecteur, le calcul s'effectue ainsi :

v.x = v.x / longueur;
v.y = v.y / longueur;

Il faut bien sûr rajouter ce calcul :

v.z = v.z / longueur;

si le vecteur est en 3D.

Notez que pour un vecteur 4D (c'est-à-dire avec une composante w), la normalisation de ce dernier revient à diviser chacune de ses trois premières composantes par w au lieu de longueur.

Si vous recalculez la longueur d'un vecteur normalisé, vous verrez que le résultat sera 1. Testez

Une application pratique

Je vous propose de voir une première utilisation pratique des vecteurs normalisés, car je suis sûr que vous vous demandez à quoi la normalisation peut servir

Souvenez-vous de notre schéma avec nos objets A et B, nous avions réussi à créer un vecteur qui allait de A vers B :



Supposons que nous normalisons ce vecteur et que nous l'appelons v.

Avec la normalisation, on sait de combien on se déplace : on se déplace toujours de 1. Supposons que vous ayez considéré en OpenGL que 1 = 1 mètre, alors vous êtes sûrs qu'en additionnant un vecteur normalisé à un point celui-ci se déplacera d'un mètre dans la direction indiquée par le vecteur.

Ainsi, en additionnant v à A, nous sommes sûrs et certains que A se déplacera d'un mètre dans la direction de B. Et si nous voulons qu'il se déplace d'un centimètre, comme nous avons un vecteur normalisé, nous n'aurons qu'à diviser celui-ci par 100 avant de l'additionner à A pour qu'il se déplace d'un centimètre.




Et voilà, vous savez maintenant normaliser un vecteur et vous en servir pour une utilisation basique. Nous allons voir maintenant une technique de calcul qui nécessite obligatoirement des vecteurs normalisés : le produit scalaire.

Le produit scalaire se dit dot product en anglais.
Vous avez peut-être déjà entendu parler du produit scalaire, mais savez-vous comment le calculer et surtout, à quoi il peut servir ? Non ? Et bien nous allons voir ça

Le produit scalaire comme calculateur d'angles

Effectuer le produit scalaire de deux vecteurs, c'est connaître l'angle qu'il y a entre deux directions (ces directions sont représentées par des vecteurs... ouais enfin logique quoi ).

Voici un schéma qui illustre assez bien ce que nous voulons calculer :



Bon, là je vous l'accorde, l'angle se devine facilement Mais il se devine seulement, car en programmation 3D il ne s'agit pas de deviner, il s'agit de calculer.

Si nous prenons deux vecteurs, (3; 2; 5) et (0; 2; 1) par exemple (et en 3D en plus ), comment, à partir de ces données, pourriez-vous calculer l'angle qui sépare ces deux vecteurs ? Le produit scalaire sert à calculer cela


Bien sûr ! sinon cela n'aurait aucun intérêt.

Pré-requis

Vos vecteurs doivent être normalisés, et c'est important ! En fait, si vos vecteurs ne sont pas normalisés, le résultat sera tout simplement faux.

Le calcul du produit scalaire

Bien, fini la théorie, passons à la pratique !

En supposant que vous ayez deux vecteurs, a et b, et que vous souhaitez connaître leur produit scalaire, le calcul est, pour des vecteurs 2D :

dot = (a.x * b.x) + (a.y * b.y)

Et en 3D, on rajoute la composante Z, aussi simplement que cela :

dot = (a.x * b.x) + (a.y * b.y) + (a.z * b.z)


Non, mais c'est le cosinus de l'angle

Si dot vaut 1, les deux vecteurs pointent dans la même direction (0°).
Si dot vaut 0, alors les deux vecteurs pointent dans deux directions qui sont à angle droit (90°).

Et donc logiquement, quand dot est entre 0 et 1, l'angle est compris entre 90° et 0°.


Hola hola, pas tant de questions à la fois

Tout d'abord, pour obtenir l'angle, il suffit d'utiliser la simple fonction mathématique arc cosinus (cos^-1() sur les calculatrices) sur notre valeur dot.
Mais attention, arc cosinus ne fonctionne pas sur des nombres négatifs, et lorsque l'angle qui sépare deux vecteurs est supérieur à 90°, dot prend alors une valeur négative, et on ne peut alors plus calculer l'angle qui sépare nos vecteurs

Mais rassurez-vous, en 3D cela sera inutile, nous nous contenterons de vérifier si dot se situe entre 0 et 1, sinon on considèrera sa valeur comme étant de 0.


Pour vous répondre en quelques mots : à calculer le taux de reception de lumière d'un plan.
Nous étudierons cela plus en détail lorsque nous apprendrons à gérer la lumière dans la 3eme partie du tutoriel.

Pour clore, retenez que :

• Le produit scalaire sert à calculer l'angle entre deux vecteurs.
• Le produit scalaire ne fonctionne que sur des vecteurs normalisés !

Alors lui, il sert à calculer le vecteur perpendiculaire à deux vecteurs

Citation : Zér0 :

Bah quoi, revenez, ne partez pas

Le produit vectoriel se dit cross product (produit croisé) en anglais, mais vous voudriez peut-être savoir à quoi cela sert avant d'apprendre à le calculer ? Pas de problème.

Notion de "normale" d'une face

Nous allons commencer simplement.

Toute face (surface plane) possède une normale. Prenons par exemple votre table de bureau, c'est une surface plane (enfin, à priori ). Sa normale pointe pile poil vers le plafond (vers le haut).

Voici comment schématiser la normale d'une face :



Voici un cube. J'ai dessiné (à l'aide de Blender) pour chaque face du cube, sa normale. Comme vous pouvez le voir, la normale d'une face plane est un vecteur qui est perpendiculaire à la face.



Et bien le produit vectoriel permet de calculer cette normale, uniquement grâce aux positions des sommets qui la composent

Calcul du produit vectoriel

Il est temps maintenant de représenter le produit vectoriel, ainsi que de montrer le calcul qu'il faut faire pour le trouver.

Le calcul du produit vectoriel se fait à partir de deux vecteurs et permet d'obtenir un autre vecteur. Ce vecteur obtenu est perpendiculaire aux deux autres vecteurs... tout comme la normale d'une face est perpendiculaire à la face elle même.

Nous pouvons faire l'analogie avec le produit vectoriel et la normale d'une face. En effet, voyez plutôt ce schéma :



Cette illustration résume assez bien tout ce que nous venons de voir
Nous pouvons voir d'une part les vecteurs a et b, d'autre part le vecteur n, qui n'est autre que le résultat du produit vectoriel de a et b, en effet, n est perpendiculaire à a et b. Mais il est aussi perpendiculaire à la face, il représente donc sa normale.

Nous venons de voir qu'avec deux vecteurs qui longent les bords d'une face, nous pouvons obtenir la normale de cette face


Revoyez la première partie de ce chapitre, et plus précisément l'endroit qui parle de la soustraction de vecteurs... vous devriez trouver assez aisément Rappelez-vous que nous connaissons les positions des sommets qui constituent notre face.


Oh ça, c'est le moins important, il s'agit d'une grosse formule barbare, l'important c'est de bien savoir ce que permet de faire le produit vectoriel

Voici le calcul du produit vectoriel :

n.x = (a.y * b.z) - (a.z * b.y)
n.y = (a.z * b.x) - (a.x * b.z)
n.z = (a.x * b.y) - (a.y * b.x)



Il n'existe pas de méthode magique pour cela... Comment savoir quelle doit être la normale de votre face ? Il n'y a pas de "haut" en 3D, ni nulle part d'ailleurs, tout est relatif. C'est pour cette raison qu'il vaut mieux garder les normales fournies par votre logiciel de modélisation 3D, car lui au moins était là dès la création des premiers polygones qui forment votre mesh.

Et voilà, ça sera tout pour le produit vectoriel. Nous l'utiliserons peu (voir pas), mais il est bon que vous le connaissiez, et puis je n'allais pas faire un chapitre sur les vecteurs sans passer à côté de ça